Python图像处理专题——图形的绘制

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Nov 24, 2022

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图像是由各种各样的图形组成的，而图形的组成部分可以是汽车和街道、云朵和天空、原子和分子等，本章将要介绍基本图形的绘制方法，并将绘制方法通过Python代码实现。

点的绘制

在描述点的几何要素时，只需要在坐标系中指定一个位置，这个世界坐标可以用向量来表示，即将指定坐标所在的像素标记为所绘制的点即可。

代码实现


def drawPoint(canvas,x,y):
    canvas[y,x] = 0

线的绘制

一个场景中的直线段由其两端的端点坐标来定义，根据直线段的几何特征可以使用笛卡尔坐标系中的截距方程来表示：

$$ y=m\cdot x+b $$

其中，$m$表示直线的斜率，$b$是y轴的截距。当给定线段的两端点$(x_0, y_0)$和$(x_p, y_p)$时，可以很容易地计算出斜率$m$和y轴截距$b$的值：

$$ m = \frac{y_p - y_0}{x_p - x_0} $$

$$ b = y_0 - m\cdot x_0 $$

Bresenham画线算法

a) 输入线段的两端点，并将左端点存储在$(x_0,y_0)$中；

b) 将 $(x_0,y_0)$ 装入帧缓存，画出第一个点；

c) 计算常量$\Delta x$、$\Delta y$、$2\Delta y$和$2\Delta y – 2\Delta x$，并得到决策参数的第一个值：

$$ p_0 = 2\Delta y - \Delta x $$

d) 从$k=0$开始，在沿线路径的每个$x_k$处，进行检测：

如果$p_k<0$，下一个要绘制的点是$(x_{k}+1,y_{k})$，并且

$$ p_{k+1} = p_k + 2\Delta y $$

否则，下一个要绘制的点是$(x_{k}+1,y_{k}+1)$，并且

$$ p_{k+1} = p_k + 2\Delta y - 2\Delta x $$

e) 重复步骤4，共$\Delta x-1$次。

代码实现


def drawLine(canvas,x1,y1,x2,y2):
    dx, dy = abs(x2 - x1), abs(y2 - y1)
    xi, yi = x1, y1
    sx, sy = 1 if (x2 - x1) > 0 else -1, 1 if (y2 - y1) > 0 else -1
    pi = 2*dy - dx

    while xi != x2 + 1:
        if pi < 0:
            pi += 2 * dy
        else:
            pi += 2 * dy - 2 * dx
            yi += 1 * sy
        drawPoint(canvas,xi,yi)
        xi += 1 * sx

园的绘制

圆是图形中最基本的图形元素，将圆的几何特征定义为所有距中心$(x_c, y_c)$为给定r的点的集合。对于任意圆点$(x, y)$用笛卡尔坐标系中勾股定理定义为

$$ (x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2 $$

通过上述方程可以计算椭圆在x轴方向跨度上以单位步长计算对应的y值，得到圆周轨迹上每个点的位置：

$$ y=y_c\pm\sqrt{r^2-(x_c-x)^2} $$

但是这并不是一个好方法，这种方法在每计算一个点都会消耗很大的计算资源，而且画出来的像素位置间距中间密集两边稀疏。解决这个问题可以使用极坐标$r$和$\theta$方式计算，可以得到方程组：

$$ x=x_c+r\cos\theta\\ y = y_c+r\sin\theta $$

中点画圆法

a) 输入圆半径r和圆心$(x_c, y_c)$，并得到圆周（圆心在原点）上的第一个点：

$$ (x_0,y_0)=(0,r) $$

b) 计算决策参数的初始值：

$$ p_0=\frac{5}{4}-r $$

c) 在每个$x_k$位置，从$k=0$开始，完成下列测试：假如$p_k<0$，圆心在$(0, 0)$的圆的下一个点为$(x_{k}+1, y_k)$，并且

$$ p_{k+1}=p_k+2x_{k+1}+1 $$

否则，圆的下一个点是$(x_{k}+1, y_{k}-1)$，并且

$$ p_{k+1} = p_k+2x_{k+1}+1-2y_{k+1} $$

其中$2x_{k+1}=2x_k+2$且$2y_{k+1}=2y_k-2$。

d) 确定在其他七个八分圆中的对称点。

e) 将每个计算出的像素位置$(x, y)$移动到圆心在$(x_c, y_c)$的圆路径上，并画坐标值：

$$ x=x+x_c,y=y+y_c $$

f) 重复步骤3到步骤5，直至$x\geqslant y$。

代码实现


def drawCircle(canvas,x,y,r):
    x0, y0 = x, y
    xi = 0
    yi = r
    pi = 5/4 - r

    while xi != yi+1:
        if pi < 0:
            pi += 2 * (xi + 1) + 1
        else:
            pi += 2 * (xi + 1) + 1 - 2 * (yi - 1)
            yi -= 1
        drawPoint(canvas,xi+x0,yi+y0)
        drawPoint(canvas,-xi+x0,yi+y0)
        drawPoint(canvas,xi+x0,-yi+y0)
        drawPoint(canvas,-xi+x0,-yi+y0)
        xi += 1

    xi = r
    yi = 0
    pi = 5/4 - r

    while not (xi == yi+1 or xi == yi):
        if pi < 0:
            pi += 2 * (yi + 1) + 1
        else:
            pi += 2 * (yi + 1) + 1 - 2 * (xi - 1)
            xi -= 1
        drawPoint(canvas,xi+x0,yi+y0)
        drawPoint(canvas,-xi+x0,yi+y0)
        drawPoint(canvas,xi+x0,-yi+y0)
        drawPoint(canvas,-xi+x0,-yi+y0)
        yi += 1

椭圆的绘制

椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为一个常数，如果椭圆上任意一点p=(x, y)到两焦点的距离为d1和d2，那么椭圆的通用方程可以表示为

$$ d_1+d_2=常数 $$

用焦点坐标$f_1=(x_1,y_1)$和$f_2=(x_2,y_2)$来表示距离$d_1$和$d_2$，可以得到

$$ \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}+\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}=常数 $$

对方程求平方根，可以重写为通用椭圆方程：

$$ Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 $$

或者使用极坐标的方式表示：

$$ x=x_c+r_x\cos\theta\\ y=y_c+r_y\sin\theta $$

中点椭圆画法

a) 输入长轴rx、短轴ry和椭圆中心$(x_c, y_c)$，并得到第一个点：

$$ (x_0,y_0)=(0,r_y) $$

b) 计算区域1中决策参数的初始值：

$$ p1_0=r_y^2-r^2_xr_y+\frac{1}{4}r^2_x $$

c) 在区域1中的每个$x_k$位置，从$k=0$开始，完成下列测试：假如$p1_k<0$，沿中心在$(0,0)$的椭圆的下一个点$(x_{k}+1,y_k)$，并且

$$ p1_{k+1}=p1_k+2r^2_yx_{k+1}+r^2_y $$

否则，沿椭圆的下一个点为$(x_{k}+1,y_{k}-1)$，并且

$$ p1_{k+1}=p1_k+2r^2_yx_{k+1}-2r^2_xy_{k+1}+r^2_y $$

其中

$$ 2r^2_yx_{k+1}=2r^2_yx_k+2r^2_y,2r^2_xy_{k+1}=2r^2_xy_k-2r^2_x $$

并且直到$2r^2_yx\geqslant 2r^2_xy$

d) 使用区域1中计算的最后点$(x_0,y_0)$来计算区域2中参数的初始值：

$$ p2_0=r^2_y(x_0+\frac{1}{2})^2+r^2_x(y_0-1)^2-r_x^2r_y^2 $$

e) 在区域2的每个$y_k$位置处，从$k=0$开始，完成下列条件判断：如果$p2_k>0$，沿中心为$(0,0)$的椭圆的下一个点为$(x_k,y_{k}-1)$，并且

$$ p2_{k+1}=p2_k-2r_x^2y_{k+1}+r^2_x $$

否则，下一个点为$(x_{k}+1,y_{k}-1)$，并且

$$ p2_{k+1}=p2_k+2r^2_yx_{k+1}-2r_x^2y_{k+1}+r^2_x $$

使用与公式1中想用的x和y增量进行计算，知道$y=0$。

f) 确定其他三个象限中的对称点。

g) 将计算出的每个像素位置$(x, y)$移到中心在$(x_c, y_c)$的椭圆轨迹上，并按坐标值绘制点：

$$ x=x+x_c,y=y+y_c $$

代码实现


def drawEllipse(canvas,x,y,rx,ry):
    x0, y0 = x, y
    xi, yi = 0, ry
    rx2 = rx ** 2
    ry2 = ry ** 2
    p1i = ry2 - rx2 * ry + rx2 / 4
    while 2*ry2*xi < 2*rx2*yi:
        print(p1i)
        if p1i < 0:
            p1i += 2 * ry2 * (xi + 1) + ry2
        else:
            p1i += 2 * ry2 * (xi + 1) - 2* rx2 * (yi - 1) + ry2
            yi -= 1
        drawPoint(canvas,xi+x0,yi+y0)
        drawPoint(canvas,-xi+x0,yi+y0)
        drawPoint(canvas,xi+x0,-yi+y0)
        drawPoint(canvas,-xi+x0,-yi+y0)
        xi += 1
    xi -= 1
    p2i = ry2 * (xi + .5) ** 2 + rx2 * (yi - 1) ** 2 - rx2 * ry2
    print(p2i,ry2 * (xi + .5) ** 2 , rx2 * (yi - 1) ** 2 , rx2 * ry2)
    while yi >= 0:
        if p2i > 0:
            p2i += -2 * rx2 * (yi - 1) + rx2
        else:
            p2i += 2 * ry2 * (xi + 1) - 2 * rx2 * (yi - 1) + rx2
            xi += 1
        drawPoint(canvas,xi+x0,yi+y0)
        drawPoint(canvas,-xi+x0,yi+y0)
        drawPoint(canvas,xi+x0,-yi+y0)
        drawPoint(canvas,-xi+x0,-yi+y0)
        yi -= 1

参考文献

徐文鹏. 计算机图形学基础（OpenGL版）[M]. 清华大学出版社, 2014.